ペアノの公理

必要なものとそうでないもの

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最近, Katsu (2025) でミニマリストプログラムの勉強をしている. その中で “Derivation by Phase” を読んでいた時に印象に残っていたペアノの公理についての言及があり, 改めて原文を振り返ってみた.

One of the properties of Peano’s axioms PA is that PA generates the proof P of “2 + 2 = 4” but not the proof P’ of “2 + 2 = 7” (in suitable notation). We can speak freely of the property “generable by PA,” holding of P but not P’, and derivatively of lines of generable proofs (theorems) and the set of theorems, without postulating any entities beyond PA and its properties. Similarly, we may speak of the property “generable by L,” which holds of certain derivations D and not others, and holding derivatively of an expression Exp formed by D and of the set Exp of those expressions.

(Chomsky, 2001, p. 42)

この考え方は非常に生成文法的（≒Chomsky的）であると言えるだろう. 生成文法に慣れ親しんだ人でなければ, そもそもこの文章が言語学の文章であるとも気づかないかもしれない.

Chomskyはこのペアノの公理を例に挙げながら, Lによって生成可能であるという性質を派生させて, 証明可能な定理やその定理の集合について述べることができると指摘した上で, 言語表現に関しても同様の性質を語ることができると論じている.

このような数学的な発想を言語に当てはめることこそ, 生成文法の大きな特徴の1つであり, 他の言語理論と際立った差を見せる部分であろう.

参考文献

• Chomsky, N. (2001). Derivation by phase. In M. Kenstowicz (Ed.), Ken Hale: A life in language (pp. 1–52). MIT Press.
• 勝 愼将 (2025). 『ミニマリストプログラム 30年の足跡』 開拓社.